Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD

Dễ dàng chứng minh t/g ABM = t/g DCM (c.g.c) => AB = CD

Xét t/g ACD có: AD < AC + CD

=> 2AM < AC + AB => AM < \(\frac{AB+AC}{2}\) 

Chứng minh tương tự ta có: \(BN< \frac{AB+BC}{2};CF< \frac{CA+CB}{2}\)

\(\Rightarrow AM+BN+CP< \frac{AB+AC+AB+BC+CA+CB}{2}=\frac{2\left(AB+AC+BC\right)}{2}=AB+AC+BC\) (1)

Gọi trọng tâm là G

Xét t/g GBC có: GB + GC > BC => \(\frac{2}{3}BN+\frac{2}{3}CP>BC\) => \(BN+CP>\frac{3}{2}BC\)

Tương tự ta có: \(AM+CP>\frac{3}{2}AC;AM+BN>\frac{3}{2}AB\)

=> BN + CP + AM + CP + AM + BN > \(\frac{3}{2}BC+\frac{3}{2}AC+\frac{3}{2}AB\)

=> 2(AM + BN + CP) > \(\frac{3}{2}\left(AB+BC+AC\right)\)

=> AM + BN + CP > \(\frac{3}{4}\left(AB+BC+AC\right)\) (2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{3}{4}\left(AB+BC+AC\right)< AM+BN+CP< AB+BC+AC\) (đpcm)

Gọi O là trọng tâm của tam giác. Ta có:

OA + OB > AB

OA + OC > AC

OB + OC > BC

=> 2(OA + OB + OC) > AB + BC + CA

\(\Rightarrow2\cdot\left(\dfrac{2}{3}AM+\dfrac{2}{3}BN+\dfrac{2}{3}CP\right)>AB+BC+CA\)

\(\Rightarrow\dfrac{4}{3}\left(AM+BN+CP\right)>AB+BC+CA\)

\(\Rightarrow AM+BN+CP>\dfrac{3}{4}\left(AB+BC+CA\right)\)

Ta có:

Nếu góc AMB tù hoặc vuông thì AB > AM

Nếu góc AMC tù hoặc vuông thì AC > AM

Tương tự: BC > BN hoặc BA > BN

CA > CP hoặc CB > CP

Vậy các cạnh của tam giác ABC luôn lớn hơn 2 trong 3 trung tuyến

=> AB + BC + CA > AM + BN + CP

Vậy...........................................

Gọi giao điểm của ba đường trung tuyến AM, BN, CP là G (G là trọng tâm)

Theo tính chất trọng tâm. Ta có: \(BG+CG=\frac{2}{3}\left(BN+CP\right)\) (1)

Mặt khác theo BĐT tam giác: \(BG+CG>BC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{2}{3}\left(BN+CP\right)>BC\). Nhân \(\frac{3}{2}\) vào hai vế của BĐT ta được:

\(BN+CP>\frac{3}{2}BC\) (đpcm)